Lutasin ang {l}{2x-5y=10}{4x+y=120}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 10 } \\ { 4 x + y = 120 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{305}{11} = 27\frac{8}{11} \approx 27.727272727$$

$$y = \frac{100}{11} = 9\frac{1}{11} \approx 9.090909091$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-5y=10,4x+y=120$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-5y=10$$

Idagdag ang 5y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=5y+10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+10\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 10+5y.

$$x=\frac{5}{2}y+5$$

I-substitute ang 5+\frac{5y}{2} para sa x sa kabilang equation na 4x+y=120.

$$4\left(\frac{5}{2}y+5\right)+y=120$$

I-multiply ang 4 times 5+\frac{5y}{2}.

$$10y+20+y=120$$

Idagdag ang 10y sa y.

$$11y+20=120$$

I-subtract ang 20 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$11y=100$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 11.

$$y=\frac{100}{11}$$

I-substitute ang \frac{100}{11} para sa y sa x=\frac{5}{2}y+5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{5}{2}\times \frac{100}{11}+5$$

I-multiply ang \frac{5}{2} times \frac{100}{11} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{250}{11}+5$$

Idagdag ang 5 sa \frac{250}{11}.

$$x=\frac{305}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{305}{11},y=\frac{100}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-5y=10,4x+y=120$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 10+\frac{5}{22}\times 120\\-\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 120\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{305}{11}\\\frac{100}{11}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{305}{11},y=\frac{100}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-5y=10,4x+y=120$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 10,2\times 4x+2y=2\times 120$$

Pasimplehin.

$$8x-20y=40,8x+2y=240$$

I-subtract ang 8x+2y=240 mula sa 8x-20y=40 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$8x-8x-20y-2y=40-240$$

Idagdag ang 8x sa -8x. Naka-cancel out ang term na 8x at -8x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-20y-2y=40-240$$

Idagdag ang -20y sa -2y.

$$-22y=40-240$$

Idagdag ang 40 sa -240.

$$-22y=-200$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -22.

$$y=\frac{100}{11}$$

I-substitute ang \frac{100}{11} para sa y sa 4x+y=120. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x+\frac{100}{11}=120$$

I-subtract ang \frac{100}{11} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=\frac{1220}{11}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{305}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{305}{11},y=\frac{100}{11}$$