Lutasin ang {l}{2x-4y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = -\frac{19}{8} = -2\frac{3}{8} = -2.375$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-4y=10$$

Idagdag ang 4y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=4y+10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(4y+10\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 4y+10.

$$x=2y+5$$

I-substitute ang 2y+5 para sa x sa kabilang equation na 6x-4y=11.

$$6\left(2y+5\right)-4y=11$$

I-multiply ang 6 times 2y+5.

$$12y+30-4y=11$$

Idagdag ang 12y sa -4y.

$$8y+30=11$$

I-subtract ang 30 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$8y=-19$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$y=-\frac{19}{8}$$

I-substitute ang -\frac{19}{8} para sa y sa x=2y+5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=2\left(-\frac{19}{8}\right)+5$$

I-multiply ang 2 times -\frac{19}{8}.

$$x=-\frac{19}{4}+5$$

Idagdag ang 5 sa -\frac{19}{4}.

$$x=\frac{1}{4}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 10+\frac{1}{4}\times 11\\-\frac{3}{8}\times 10+\frac{1}{8}\times 11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\-\frac{19}{8}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

I-subtract ang 6x-4y=11 mula sa 2x-4y=10 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-6x-4y+4y=10-11$$

Idagdag ang -4y sa 4y. Naka-cancel out ang term na -4y at 4y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2x-6x=10-11$$

Idagdag ang 2x sa -6x.

$$-4x=10-11$$

Idagdag ang 10 sa -11.

$$-4x=-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=\frac{1}{4}$$

I-substitute ang \frac{1}{4} para sa x sa 6x-4y=11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$6\times \frac{1}{4}-4y=11$$

I-multiply ang 6 times \frac{1}{4}.

$$\frac{3}{2}-4y=11$$

I-subtract ang \frac{3}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4y=\frac{19}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$y=-\frac{19}{8}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$