Lutasin ang {l}{2x-4y=-2}{3x+2y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = - 2 } \\ { 3 x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=\frac{3}{4}=0.75$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-4y=-2,3x+2y=3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-4y=-2$$

Idagdag ang 4y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=4y-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(4y-2\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 4y-2.

$$x=2y-1$$

I-substitute ang 2y-1 para sa x sa kabilang equation na 3x+2y=3.

$$3\left(2y-1\right)+2y=3$$

I-multiply ang 3 times 2y-1.

$$6y-3+2y=3$$

Idagdag ang 6y sa 2y.

$$8y-3=3$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$8y=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$y=\frac{3}{4}$$

I-substitute ang \frac{3}{4} para sa y sa x=2y-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=2\times \frac{3}{4}-1$$

I-multiply ang 2 times \frac{3}{4}.

$$x=\frac{3}{2}-1$$

Idagdag ang -1 sa \frac{3}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-4y=-2,3x+2y=3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-2\right)+\frac{1}{4}\times 3\\-\frac{3}{16}\left(-2\right)+\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-4y=-2,3x+2y=3$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$3\times 2x+3\left(-4\right)y=3\left(-2\right),2\times 3x+2\times 2y=2\times 3$$

Pasimplehin.

$$6x-12y=-6,6x+4y=6$$

I-subtract ang 6x+4y=6 mula sa 6x-12y=-6 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x-12y-4y=-6-6$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-12y-4y=-6-6$$

Idagdag ang -12y sa -4y.

$$-16y=-6-6$$

Idagdag ang -6 sa -6.

$$-16y=-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -16.

$$y=\frac{3}{4}$$

I-substitute ang \frac{3}{4} para sa y sa 3x+2y=3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+2\times \frac{3}{4}=3$$

I-multiply ang 2 times \frac{3}{4}.

$$3x+\frac{3}{2}=3$$

I-subtract ang \frac{3}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=\frac{3}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$