Lutasin ang {l}{2x-3y-10=0}{2y=-17-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 2 y = - 17 - 3 x } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{31}{13} = -2\frac{5}{13} \approx -2.384615385$$

$$y = -\frac{64}{13} = -4\frac{12}{13} \approx -4.923076923$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 10 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$2x-3y=10$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 3x sa parehong bahagi.

$$2y+3x=-17$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-3y=10$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=3y+10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

I-substitute ang \frac{3y}{2}+5 para sa x sa kabilang equation na 3x+2y=-17.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+2y=-17$$

I-multiply ang 3 times \frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+2y=-17$$

Idagdag ang \frac{9y}{2} sa 2y.

$$\frac{13}{2}y+15=-17$$

I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{13}{2}y=-32$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{13}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{64}{13}$$

I-substitute ang -\frac{64}{13} para sa y sa x=\frac{3}{2}y+5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{64}{13}\right)+5$$

I-multiply ang \frac{3}{2} times -\frac{64}{13} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{96}{13}+5$$

Idagdag ang 5 sa -\frac{96}{13}.

$$x=-\frac{31}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 10 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$2x-3y=10$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 3x sa parehong bahagi.

$$2y+3x=-17$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 10+\frac{3}{13}\left(-17\right)\\-\frac{3}{13}\times 10+\frac{2}{13}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{13}\\-\frac{64}{13}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 10 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$2x-3y=10$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 3x sa parehong bahagi.

$$2y+3x=-17$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 2y=2\left(-17\right)$$

Pasimplehin.

$$6x-9y=30,6x+4y=-34$$

I-subtract ang 6x+4y=-34 mula sa 6x-9y=30 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x-9y-4y=30+34$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-9y-4y=30+34$$

Idagdag ang -9y sa -4y.

$$-13y=30+34$$

Idagdag ang 30 sa 34.

$$-13y=64$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -13.

$$y=-\frac{64}{13}$$

I-substitute ang -\frac{64}{13} para sa y sa 3x+2y=-17. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+2\left(-\frac{64}{13}\right)=-17$$

I-multiply ang 2 times -\frac{64}{13}.

$$3x-\frac{128}{13}=-17$$

Idagdag ang \frac{128}{13} sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-\frac{93}{13}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=-\frac{31}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$