Lutasin ang {l}{2x-3y-10=0}{17y=-11-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 17 y = - 11 - 3 x } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{137}{43} = 3\frac{8}{43} \approx 3.186046512$$

$$y = -\frac{52}{43} = -1\frac{9}{43} \approx -1.209302326$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 10 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$2x-3y=10$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 3x sa parehong bahagi.

$$17y+3x=-11$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-3y=10$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=3y+10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

I-substitute ang \frac{3y}{2}+5 para sa x sa kabilang equation na 3x+17y=-11.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+17y=-11$$

I-multiply ang 3 times \frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+17y=-11$$

Idagdag ang \frac{9y}{2} sa 17y.

$$\frac{43}{2}y+15=-11$$

I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{43}{2}y=-26$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{43}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{52}{43}$$

I-substitute ang -\frac{52}{43} para sa y sa x=\frac{3}{2}y+5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{52}{43}\right)+5$$

I-multiply ang \frac{3}{2} times -\frac{52}{43} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{78}{43}+5$$

Idagdag ang 5 sa -\frac{78}{43}.

$$x=\frac{137}{43}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 10 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$2x-3y=10$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 3x sa parehong bahagi.

$$17y+3x=-11$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}&\frac{3}{43}\\-\frac{3}{43}&\frac{2}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}\times 10+\frac{3}{43}\left(-11\right)\\-\frac{3}{43}\times 10+\frac{2}{43}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{43}\\-\frac{52}{43}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 10 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$2x-3y=10$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 3x sa parehong bahagi.

$$17y+3x=-11$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 17y=2\left(-11\right)$$

Pasimplehin.

$$6x-9y=30,6x+34y=-22$$

I-subtract ang 6x+34y=-22 mula sa 6x-9y=30 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x-9y-34y=30+22$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-9y-34y=30+22$$

Idagdag ang -9y sa -34y.

$$-43y=30+22$$

Idagdag ang 30 sa 22.

$$-43y=52$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -43.

$$y=-\frac{52}{43}$$

I-substitute ang -\frac{52}{43} para sa y sa 3x+17y=-11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+17\left(-\frac{52}{43}\right)=-11$$

I-multiply ang 17 times -\frac{52}{43}.

$$3x-\frac{884}{43}=-11$$

Idagdag ang \frac{884}{43} sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=\frac{411}{43}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{137}{43}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$