Lutasin ang {l}{2x-3y=0}{-x+15y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 0 } \\ { - x + 15 y = 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=\frac{2}{9}\approx 0.222222222$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-3y=0,-x+15y=3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-3y=0$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=3y$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\times 3y$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 3y.

$$x=\frac{3}{2}y$$

I-substitute ang \frac{3y}{2} para sa x sa kabilang equation na -x+15y=3.

$$-\frac{3}{2}y+15y=3$$

Idagdag ang -\frac{3y}{2} sa 15y.

$$\frac{27}{2}y=3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{27}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{2}{9}$$

I-substitute ang \frac{2}{9} para sa y sa x=\frac{3}{2}y. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{2}{9}$$

I-multiply ang \frac{3}{2} times \frac{2}{9} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{1}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-3y=0,-x+15y=3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{27}&\frac{2}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 3\\\frac{2}{27}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-3y=0,-x+15y=3$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at -x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$-2x-\left(-3y\right)=0,2\left(-1\right)x+2\times 15y=2\times 3$$

Pasimplehin.

$$-2x+3y=0,-2x+30y=6$$

I-subtract ang -2x+30y=6 mula sa -2x+3y=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-2x+2x+3y-30y=-6$$

Idagdag ang -2x sa 2x. Naka-cancel out ang term na -2x at 2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3y-30y=-6$$

Idagdag ang 3y sa -30y.

$$-27y=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -27.

$$y=\frac{2}{9}$$

I-substitute ang \frac{2}{9} para sa y sa -x+15y=3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-x+15\times \frac{2}{9}=3$$

I-multiply ang 15 times \frac{2}{9}.

$$-x+\frac{10}{3}=3$$

I-subtract ang \frac{10}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=-\frac{1}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=\frac{1}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{9}$$