Lutasin ang {l}{2x-2+4y=1/2}{8(y-1/2)=9(x+1)-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 + 4 y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( x + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 2 sa parehong bahagi.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

Idagdag ang \frac{1}{2} at 2 para makuha ang \frac{5}{2}.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 8 gamit ang y-\frac{1}{2}.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 9 gamit ang x+1.

$$8y-4=9x+9-4$$

I-subtract ang 4 mula sa 9 para makuha ang 5.

$$8y-4=9x+5$$

I-subtract ang 9x mula sa magkabilang dulo.

$$8y-4-9x=5$$

Idagdag ang 4 sa parehong bahagi.

$$8y-9x=5+4$$

Idagdag ang 5 at 4 para makuha ang 9.

$$8y-9x=9$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-4y+\frac{5}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+\frac{5}{2}\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -4y+\frac{5}{2}.

$$x=-2y+\frac{5}{4}$$

I-substitute ang -2y+\frac{5}{4} para sa x sa kabilang equation na -9x+8y=9.

$$-9\left(-2y+\frac{5}{4}\right)+8y=9$$

I-multiply ang -9 times -2y+\frac{5}{4}.

$$18y-\frac{45}{4}+8y=9$$

Idagdag ang 18y sa 8y.

$$26y-\frac{45}{4}=9$$

Idagdag ang \frac{45}{4} sa magkabilang dulo ng equation.

$$26y=\frac{81}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 26.

$$y=\frac{81}{104}$$

I-substitute ang \frac{81}{104} para sa y sa x=-2y+\frac{5}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

I-multiply ang -2 times \frac{81}{104}.

$$x=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

Idagdag ang \frac{5}{4} sa -\frac{81}{52} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{4}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 2 sa parehong bahagi.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

Idagdag ang \frac{1}{2} at 2 para makuha ang \frac{5}{2}.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 8 gamit ang y-\frac{1}{2}.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 9 gamit ang x+1.

$$8y-4=9x+9-4$$

I-subtract ang 4 mula sa 9 para makuha ang 5.

$$8y-4=9x+5$$

I-subtract ang 9x mula sa magkabilang dulo.

$$8y-4-9x=5$$

Idagdag ang 4 sa parehong bahagi.

$$8y-9x=5+4$$

Idagdag ang 5 at 4 para makuha ang 9.

$$8y-9x=9$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 2 sa parehong bahagi.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

Idagdag ang \frac{1}{2} at 2 para makuha ang \frac{5}{2}.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 8 gamit ang y-\frac{1}{2}.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 9 gamit ang x+1.

$$8y-4=9x+9-4$$

I-subtract ang 4 mula sa 9 para makuha ang 5.

$$8y-4=9x+5$$

I-subtract ang 9x mula sa magkabilang dulo.

$$8y-4-9x=5$$

Idagdag ang 4 sa parehong bahagi.

$$8y-9x=5+4$$

Idagdag ang 5 at 4 para makuha ang 9.

$$8y-9x=9$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at -9x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -9 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$-9\times 2x-9\times 4y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)x+2\times 8y=2\times 9$$

Pasimplehin.

$$-18x-36y=-\frac{45}{2},-18x+16y=18$$

I-subtract ang -18x+16y=18 mula sa -18x-36y=-\frac{45}{2} sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-18x+18x-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

Idagdag ang -18x sa 18x. Naka-cancel out ang term na -18x at 18x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

Idagdag ang -36y sa -16y.

$$-52y=-\frac{45}{2}-18$$

Idagdag ang -\frac{45}{2} sa -18.

$$-52y=-\frac{81}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -52.

$$y=\frac{81}{104}$$

I-substitute ang \frac{81}{104} para sa y sa -9x+8y=9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-9x+8\times \frac{81}{104}=9$$

I-multiply ang 8 times \frac{81}{104}.

$$-9x+\frac{81}{13}=9$$

I-subtract ang \frac{81}{13} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-9x=\frac{36}{13}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -9.

$$x=-\frac{4}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$