Lutasin ang {l}{2x+y=9}{2x+3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 9 } \\ { 2 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4} = 6.25$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+y=9,2x+3y=2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+y=9$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-y+9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+9\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -y+9.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}$$

I-substitute ang \frac{-y+9}{2} para sa x sa kabilang equation na 2x+3y=2.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}\right)+3y=2$$

I-multiply ang 2 times \frac{-y+9}{2}.

$$-y+9+3y=2$$

Idagdag ang -y sa 3y.

$$2y+9=2$$

I-subtract ang 9 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=-7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

I-substitute ang -\frac{7}{2} para sa y sa x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{7}{2}\right)+\frac{9}{2}$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times -\frac{7}{2} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{7}{4}+\frac{9}{2}$$

Idagdag ang \frac{9}{2} sa \frac{7}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{25}{4}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{25}{4},y=-\frac{7}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+y=9,2x+3y=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2}&-\frac{1}{2\times 3-2}\\-\frac{2}{2\times 3-2}&\frac{2}{2\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 9-\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{2}\times 9+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{4}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{25}{4},y=-\frac{7}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+y=9,2x+3y=2$$

I-subtract ang 2x+3y=2 mula sa 2x+y=9 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x+y-3y=9-2$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$y-3y=9-2$$

Idagdag ang y sa -3y.

$$-2y=9-2$$

Idagdag ang 9 sa -2.

$$-2y=7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

I-substitute ang -\frac{7}{2} para sa y sa 2x+3y=2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+3\left(-\frac{7}{2}\right)=2$$

I-multiply ang 3 times -\frac{7}{2}.

$$2x-\frac{21}{2}=2$$

Idagdag ang \frac{21}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=\frac{25}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{25}{4}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{25}{4},y=-\frac{7}{2}$$