Lutasin ang {l}{2x+y=60}{x+2y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 60 } \\ { x + 2 y = 42 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=26$$

$$y=8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+y=60,x+2y=42$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+y=60$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-y+60$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+60\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -y+60.

$$x=-\frac{1}{2}y+30$$

I-substitute ang -\frac{y}{2}+30 para sa x sa kabilang equation na x+2y=42.

$$-\frac{1}{2}y+30+2y=42$$

Idagdag ang -\frac{y}{2} sa 2y.

$$\frac{3}{2}y+30=42$$

I-subtract ang 30 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{3}{2}y=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{3}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=8$$

I-substitute ang 8 para sa y sa x=-\frac{1}{2}y+30. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\times 8+30$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times 8.

$$x=-4+30$$

Idagdag ang 30 sa -4.

$$x=26$$

Nalutas na ang system.

$$x=26,y=8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+y=60,x+2y=42$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\42\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\42\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\42\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\42\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-1}&-\frac{1}{2\times 2-1}\\-\frac{1}{2\times 2-1}&\frac{2}{2\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\42\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\42\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 60-\frac{1}{3}\times 42\\-\frac{1}{3}\times 60+\frac{2}{3}\times 42\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\8\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=26,y=8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+y=60,x+2y=42$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$2x+y=60,2x+2\times 2y=2\times 42$$

Pasimplehin.

$$2x+y=60,2x+4y=84$$

I-subtract ang 2x+4y=84 mula sa 2x+y=60 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x+y-4y=60-84$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$y-4y=60-84$$

Idagdag ang y sa -4y.

$$-3y=60-84$$

Idagdag ang 60 sa -84.

$$-3y=-24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=8$$

I-substitute ang 8 para sa y sa x+2y=42. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+2\times 8=42$$

I-multiply ang 2 times 8.

$$x+16=42$$

I-subtract ang 16 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=26$$

Nalutas na ang system.

$$x=26,y=8$$