Lutasin ang {l}{2x+y=6}{6x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 6 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+y=6,6x-y=2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+y=6$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-y+6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

I-substitute ang -\frac{y}{2}+3 para sa x sa kabilang equation na 6x-y=2.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=2$$

I-multiply ang 6 times -\frac{y}{2}+3.

$$-3y+18-y=2$$

Idagdag ang -3y sa -y.

$$-4y+18=2$$

I-subtract ang 18 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4y=-16$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa x=-\frac{1}{2}y+3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\times 4+3$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times 4.

$$x=-2+3$$

Idagdag ang 3 sa -2.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+y=6,6x-y=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}\\-\frac{6}{2\left(-1\right)-6}&\frac{2}{2\left(-1\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 6+\frac{1}{8}\times 2\\\frac{3}{4}\times 6-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+y=6,6x-y=2$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 6x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$6\times 2x+6y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Pasimplehin.

$$12x+6y=36,12x-2y=4$$

I-subtract ang 12x-2y=4 mula sa 12x+6y=36 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$12x-12x+6y+2y=36-4$$

Idagdag ang 12x sa -12x. Naka-cancel out ang term na 12x at -12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$6y+2y=36-4$$

Idagdag ang 6y sa 2y.

$$8y=36-4$$

Idagdag ang 36 sa -4.

$$8y=32$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa 6x-y=2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$6x-4=2$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=4$$