Lutasin ang {l}{2x+y=5}{6x+6y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 5 } \\ { 6 x + 6 y = 24 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+y=5,6x+6y=24$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+y=5$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-y+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -y+5.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

I-substitute ang \frac{-y+5}{2} para sa x sa kabilang equation na 6x+6y=24.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=24$$

I-multiply ang 6 times \frac{-y+5}{2}.

$$-3y+15+6y=24$$

Idagdag ang -3y sa 6y.

$$3y+15=24$$

I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{5}{2}$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times 3.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Idagdag ang \frac{5}{2} sa -\frac{3}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+y=5,6x+6y=24$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-6}&-\frac{1}{2\times 6-6}\\-\frac{6}{2\times 6-6}&\frac{2}{2\times 6-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{6}\\-1&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-\frac{1}{6}\times 24\\-5+\frac{1}{3}\times 24\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+y=5,6x+6y=24$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 6x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$6\times 2x+6y=6\times 5,2\times 6x+2\times 6y=2\times 24$$

Pasimplehin.

$$12x+6y=30,12x+12y=48$$

I-subtract ang 12x+12y=48 mula sa 12x+6y=30 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$12x-12x+6y-12y=30-48$$

Idagdag ang 12x sa -12x. Naka-cancel out ang term na 12x at -12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$6y-12y=30-48$$

Idagdag ang 6y sa -12y.

$$-6y=30-48$$

Idagdag ang 30 sa -48.

$$-6y=-18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -6.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa 6x+6y=24. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$6x+6\times 3=24$$

I-multiply ang 6 times 3.

$$6x+18=24$$

I-subtract ang 18 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=3$$