Lutasin ang {l}{2x+y=5}{3x+y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 5 } \\ { 3 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=4$$

$$y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+y=5,3x+y=9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+y=5$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-y+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -y+5.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

I-substitute ang \frac{-y+5}{2} para sa x sa kabilang equation na 3x+y=9.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+y=9$$

I-multiply ang 3 times \frac{-y+5}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}+y=9$$

Idagdag ang -\frac{3y}{2} sa y.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}=9$$

I-subtract ang \frac{15}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{1}{2}y=\frac{3}{2}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3\right)+\frac{5}{2}$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times -3.

$$x=\frac{3+5}{2}$$

Idagdag ang \frac{5}{2} sa \frac{3}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+y=5,3x+y=9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3}&-\frac{1}{2-3}\\-\frac{3}{2-3}&\frac{2}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5+9\\3\times 5-2\times 9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=4,y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+y=5,3x+y=9$$

I-subtract ang 3x+y=9 mula sa 2x+y=5 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-3x+y-y=5-9$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2x-3x=5-9$$

Idagdag ang 2x sa -3x.

$$-x=5-9$$

Idagdag ang 5 sa -9.

$$-x=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=4$$

I-substitute ang 4 para sa x sa 3x+y=9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$3\times 4+y=9$$

I-multiply ang 3 times 4.

$$12+y=9$$

I-subtract ang 12 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-3$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=-3$$