Lutasin ang {l}{2x+y=1}{-x+y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 1 } \\ { - x + y = - 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+y=1,-x+y=-2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+y=1$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

I-substitute ang \frac{-y+1}{2} para sa x sa kabilang equation na -x+y=-2.

$$-\left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+y=-2$$

I-multiply ang -1 times \frac{-y+1}{2}.

$$\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}+y=-2$$

Idagdag ang \frac{y}{2} sa y.

$$\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}=-2$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{3}{2}y=-\frac{3}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{3}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times -1.

$$x=\frac{1+1}{2}$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa \frac{1}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+y=1,-x+y=-2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+y=1,-x+y=-2$$

I-subtract ang -x+y=-2 mula sa 2x+y=1 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x+x+y-y=1+2$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2x+x=1+2$$

Idagdag ang 2x sa x.

$$3x=1+2$$

Idagdag ang 1 sa 2.

$$3x=3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=1$$

I-substitute ang 1 para sa x sa -x+y=-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$-1+y=-2$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=-1$$