Lutasin ang {l}{2x+y=-19}{x+4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 19 } \\ { x + 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{87}{7} = -12\frac{3}{7} \approx -12.428571429$$

$$y = \frac{41}{7} = 5\frac{6}{7} \approx 5.857142857$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+y=-19,x+4y=11$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+y=-19$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-y-19$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-19\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -y-19.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{19}{2}$$

I-substitute ang \frac{-y-19}{2} para sa x sa kabilang equation na x+4y=11.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{19}{2}+4y=11$$

Idagdag ang -\frac{y}{2} sa 4y.

$$\frac{7}{2}y-\frac{19}{2}=11$$

Idagdag ang \frac{19}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{7}{2}y=\frac{41}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{7}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{41}{7}$$

I-substitute ang \frac{41}{7} para sa y sa x=-\frac{1}{2}y-\frac{19}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{41}{7}-\frac{19}{2}$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times \frac{41}{7} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{41}{14}-\frac{19}{2}$$

Idagdag ang -\frac{19}{2} sa -\frac{41}{14} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{87}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{87}{7},y=\frac{41}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+y=-19,x+4y=11$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-1}&-\frac{1}{2\times 4-1}\\-\frac{1}{2\times 4-1}&\frac{2}{2\times 4-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-19\right)-\frac{1}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-19\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{87}{7}\\\frac{41}{7}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{87}{7},y=\frac{41}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+y=-19,x+4y=11$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$2x+y=-19,2x+2\times 4y=2\times 11$$

Pasimplehin.

$$2x+y=-19,2x+8y=22$$

I-subtract ang 2x+8y=22 mula sa 2x+y=-19 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x+y-8y=-19-22$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$y-8y=-19-22$$

Idagdag ang y sa -8y.

$$-7y=-19-22$$

Idagdag ang -19 sa -22.

$$-7y=-41$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$y=\frac{41}{7}$$

I-substitute ang \frac{41}{7} para sa y sa x+4y=11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+4\times \frac{41}{7}=11$$

I-multiply ang 4 times \frac{41}{7}.

$$x+\frac{164}{7}=11$$

I-subtract ang \frac{164}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-\frac{87}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{87}{7},y=\frac{41}{7}$$