Lutasin ang {l}{2x+9y=19}{4x+my=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 19 } \\ { 4 x + m y = 53 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-\frac{477-19m}{2\left(m-18\right)}$$

$$y=\frac{15}{m-18}$$

$$m\neq 18$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+9y=19$$

I-subtract ang 9y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-9y+19$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+19\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -9y+19.

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}$$

I-substitute ang \frac{-9y+19}{2} para sa x sa kabilang equation na 4x+my=53.

$$4\left(-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}\right)+my=53$$

I-multiply ang 4 times \frac{-9y+19}{2}.

$$-18y+38+my=53$$

Idagdag ang -18y sa my.

$$\left(m-18\right)y+38=53$$

I-subtract ang 38 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(m-18\right)y=15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -18+m.

$$y=\frac{15}{m-18}$$

I-substitute ang \frac{15}{-18+m} para sa y sa x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{15}{m-18}+\frac{19}{2}$$

I-multiply ang -\frac{9}{2} times \frac{15}{-18+m}.

$$x=-\frac{135}{2\left(m-18\right)}+\frac{19}{2}$$

Idagdag ang \frac{19}{2} sa -\frac{135}{2\left(-18+m\right)}.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2m-9\times 4}&-\frac{9}{2m-9\times 4}\\-\frac{4}{2m-9\times 4}&\frac{2}{2m-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}&-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\\-\frac{2}{m-18}&\frac{1}{m-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}\times 19+\left(-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\right)\times 53\\\left(-\frac{2}{m-18}\right)\times 19+\frac{1}{m-18}\times 53\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}\\\frac{15}{m-18}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$4\times 2x+4\times 9y=4\times 19,2\times 4x+2my=2\times 53$$

Pasimplehin.

$$8x+36y=76,8x+2my=106$$

I-subtract ang 8x+2my=106 mula sa 8x+36y=76 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$8x-8x+36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

Idagdag ang 8x sa -8x. Naka-cancel out ang term na 8x at -8x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

Idagdag ang 36y sa -2my.

$$\left(36-2m\right)y=76-106$$

Idagdag ang 76 sa -106.

$$\left(36-2m\right)y=-30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 36-2m.

$$y=-\frac{15}{18-m}$$

I-substitute ang -\frac{15}{18-m} para sa y sa 4x+my=53. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x+m\left(-\frac{15}{18-m}\right)=53$$

I-multiply ang m times -\frac{15}{18-m}.

$$4x-\frac{15m}{18-m}=53$$

Idagdag ang \frac{15m}{18-m} sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=\frac{2\left(477-19m\right)}{18-m}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)},y=-\frac{15}{18-m}$$