Lutasin ang {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+5y=259$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-5y+259$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -5y+259.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

I-substitute ang \frac{-5y+259}{2} para sa x sa kabilang equation na 199x-2y=1127.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

I-multiply ang 199 times \frac{-5y+259}{2}.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

Idagdag ang -\frac{995y}{2} sa -2y.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

I-subtract ang \frac{51541}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{999}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{16429}{333}$$

I-substitute ang \frac{16429}{333} para sa y sa x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

I-multiply ang -\frac{5}{2} times \frac{16429}{333} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

Idagdag ang \frac{259}{2} sa -\frac{82145}{666} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 199x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 199 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

Pasimplehin.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

I-subtract ang 398x-4y=2254 mula sa 398x+995y=51541 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

Idagdag ang 398x sa -398x. Naka-cancel out ang term na 398x at -398x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$995y+4y=51541-2254$$

Idagdag ang 995y sa 4y.

$$999y=51541-2254$$

Idagdag ang 51541 sa -2254.

$$999y=49287$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 999.

$$y=\frac{16429}{333}$$

I-substitute ang \frac{16429}{333} para sa y sa 199x-2y=1127. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

I-multiply ang -2 times \frac{16429}{333}.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

Idagdag ang \frac{32858}{333} sa magkabilang dulo ng equation.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 199.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$