Lutasin ang {l}{2x+5y=-10}{y=-7/5x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = - 10 } \\ { y = - \frac { 7 } { 5 } x + 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=5$$

$$y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang \frac{7}{5}x sa parehong bahagi.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+5y=-10$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-5y-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y-10\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -5y-10.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

I-substitute ang -\frac{5y}{2}-5 para sa x sa kabilang equation na \frac{7}{5}x+y=3.

$$\frac{7}{5}\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+y=3$$

I-multiply ang \frac{7}{5} times -\frac{5y}{2}-5.

$$-\frac{7}{2}y-7+y=3$$

Idagdag ang -\frac{7y}{2} sa y.

$$-\frac{5}{2}y-7=3$$

Idagdag ang 7 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{5}{2}y=10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{5}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-4$$

I-substitute ang -4 para sa y sa x=-\frac{5}{2}y-5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-4\right)-5$$

I-multiply ang -\frac{5}{2} times -4.

$$x=10-5$$

Idagdag ang -5 sa 10.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang \frac{7}{5}x sa parehong bahagi.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\times \frac{7}{5}}&-\frac{5}{2-5\times \frac{7}{5}}\\-\frac{\frac{7}{5}}{2-5\times \frac{7}{5}}&\frac{2}{2-5\times \frac{7}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&1\\\frac{7}{25}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-10\right)+3\\\frac{7}{25}\left(-10\right)-\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=5,y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang \frac{7}{5}x sa parehong bahagi.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at \frac{7x}{5}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang \frac{7}{5} at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$\frac{7}{5}\times 2x+\frac{7}{5}\times 5y=\frac{7}{5}\left(-10\right),2\times \frac{7}{5}x+2y=2\times 3$$

Pasimplehin.

$$\frac{14}{5}x+7y=-14,\frac{14}{5}x+2y=6$$

I-subtract ang \frac{14}{5}x+2y=6 mula sa \frac{14}{5}x+7y=-14 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\frac{14}{5}x-\frac{14}{5}x+7y-2y=-14-6$$

Idagdag ang \frac{14x}{5} sa -\frac{14x}{5}. Naka-cancel out ang term na \frac{14x}{5} at -\frac{14x}{5} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$7y-2y=-14-6$$

Idagdag ang 7y sa -2y.

$$5y=-14-6$$

Idagdag ang -14 sa -6.

$$5y=-20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=-4$$

I-substitute ang -4 para sa y sa \frac{7}{5}x+y=3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$\frac{7}{5}x-4=3$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{7}{5}x=7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{7}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=-4$$