Lutasin ang {l}{2x+4y=2}{6x+4y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2 } \\ { 6 x + 4 y = 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=\frac{1}{4}=0.25$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+4y=2,6x+4y=4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+4y=2$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-4y+2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -4y+2.

$$x=-2y+1$$

I-substitute ang -2y+1 para sa x sa kabilang equation na 6x+4y=4.

$$6\left(-2y+1\right)+4y=4$$

I-multiply ang 6 times -2y+1.

$$-12y+6+4y=4$$

Idagdag ang -12y sa 4y.

$$-8y+6=4$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-8y=-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$y=\frac{1}{4}$$

I-substitute ang \frac{1}{4} para sa y sa x=-2y+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-2\times \frac{1}{4}+1$$

I-multiply ang -2 times \frac{1}{4}.

$$x=-\frac{1}{2}+1$$

Idagdag ang 1 sa -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+4y=2,6x+4y=4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&4\\6&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-4\times 6}&-\frac{4}{2\times 4-4\times 6}\\-\frac{6}{2\times 4-4\times 6}&\frac{2}{2\times 4-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\times 4\\\frac{3}{8}\times 2-\frac{1}{8}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+4y=2,6x+4y=4$$

I-subtract ang 6x+4y=4 mula sa 2x+4y=2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-6x+4y-4y=2-4$$

Idagdag ang 4y sa -4y. Naka-cancel out ang term na 4y at -4y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2x-6x=2-4$$

Idagdag ang 2x sa -6x.

$$-4x=2-4$$

Idagdag ang 2 sa -4.

$$-4x=-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=\frac{1}{2}$$

I-substitute ang \frac{1}{2} para sa x sa 6x+4y=4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$6\times \frac{1}{2}+4y=4$$

I-multiply ang 6 times \frac{1}{2}.

$$3+4y=4$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4y=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$y=\frac{1}{4}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{4}$$