Lutasin ang {l}{2x+4y=10}{x-y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 10 } \\ { x - y = 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{19}{3} = 6\frac{1}{3} \approx 6.333333333$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+4y=10,x-y=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+4y=10$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-4y+10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+10\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -4y+10.

$$x=-2y+5$$

I-substitute ang -2y+5 para sa x sa kabilang equation na x-y=7.

$$-2y+5-y=7$$

Idagdag ang -2y sa -y.

$$-3y+5=7$$

I-subtract ang 5 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3y=2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=-\frac{2}{3}$$

I-substitute ang -\frac{2}{3} para sa y sa x=-2y+5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-2\left(-\frac{2}{3}\right)+5$$

I-multiply ang -2 times -\frac{2}{3}.

$$x=\frac{4}{3}+5$$

Idagdag ang 5 sa \frac{4}{3}.

$$x=\frac{19}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{19}{3},y=-\frac{2}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+4y=10,x-y=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10+\frac{2}{3}\times 7\\\frac{1}{6}\times 10-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{19}{3},y=-\frac{2}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+4y=10,x-y=7$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$2x+4y=10,2x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

Pasimplehin.

$$2x+4y=10,2x-2y=14$$

I-subtract ang 2x-2y=14 mula sa 2x+4y=10 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x+4y+2y=10-14$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$4y+2y=10-14$$

Idagdag ang 4y sa 2y.

$$6y=10-14$$

Idagdag ang 10 sa -14.

$$6y=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$y=-\frac{2}{3}$$

I-substitute ang -\frac{2}{3} para sa y sa x-y=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x-\left(-\frac{2}{3}\right)=7$$

I-subtract ang \frac{2}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{19}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{19}{3},y=-\frac{2}{3}$$