Lutasin ang {l}{2x+3y=5}{7x=4y-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 4 y - 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{11}{29}\approx 0.379310345$$

$$y = \frac{41}{29} = 1\frac{12}{29} \approx 1.413793103$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo.

$$7x-4y=-3$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+3y=5,7x-4y=-3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+3y=5$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-3y+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

I-substitute ang \frac{-3y+5}{2} para sa x sa kabilang equation na 7x-4y=-3.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-4y=-3$$

I-multiply ang 7 times \frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-4y=-3$$

Idagdag ang -\frac{21y}{2} sa -4y.

$$-\frac{29}{2}y+\frac{35}{2}=-3$$

I-subtract ang \frac{35}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{29}{2}y=-\frac{41}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{29}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{41}{29}$$

I-substitute ang \frac{41}{29} para sa y sa x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{41}{29}+\frac{5}{2}$$

I-multiply ang -\frac{3}{2} times \frac{41}{29} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{123}{58}+\frac{5}{2}$$

Idagdag ang \frac{5}{2} sa -\frac{123}{58} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{11}{29}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{11}{29},y=\frac{41}{29}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo.

$$7x-4y=-3$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+3y=5,7x-4y=-3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 7}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{2\left(-4\right)-3\times 7}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\times 5+\frac{3}{29}\left(-3\right)\\\frac{7}{29}\times 5-\frac{2}{29}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{29}\\\frac{41}{29}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{11}{29},y=\frac{41}{29}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo.

$$7x-4y=-3$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+3y=5,7x-4y=-3$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 7x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\left(-4\right)y=2\left(-3\right)$$

Pasimplehin.

$$14x+21y=35,14x-8y=-6$$

I-subtract ang 14x-8y=-6 mula sa 14x+21y=35 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$14x-14x+21y+8y=35+6$$

Idagdag ang 14x sa -14x. Naka-cancel out ang term na 14x at -14x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$21y+8y=35+6$$

Idagdag ang 21y sa 8y.

$$29y=35+6$$

Idagdag ang 35 sa 6.

$$29y=41$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 29.

$$y=\frac{41}{29}$$

I-substitute ang \frac{41}{29} para sa y sa 7x-4y=-3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$7x-4\times \frac{41}{29}=-3$$

I-multiply ang -4 times \frac{41}{29}.

$$7x-\frac{164}{29}=-3$$

Idagdag ang \frac{164}{29} sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=\frac{77}{29}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=\frac{11}{29}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{11}{29},y=\frac{41}{29}$$