Lutasin ang {l}{2x+3y=5}{4x+3y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 4 x + 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+3y=5,4x+3y=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+3y=5$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-3y+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

I-substitute ang \frac{-3y+5}{2} para sa x sa kabilang equation na 4x+3y=7.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+3y=7$$

I-multiply ang 4 times \frac{-3y+5}{2}.

$$-6y+10+3y=7$$

Idagdag ang -6y sa 3y.

$$-3y+10=7$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3y=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Idagdag ang \frac{5}{2} sa -\frac{3}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+3y=5,4x+3y=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 3-3\times 4}&\frac{2}{2\times 3-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 7\\\frac{2}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+3y=5,4x+3y=7$$

I-subtract ang 4x+3y=7 mula sa 2x+3y=5 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-4x+3y-3y=5-7$$

Idagdag ang 3y sa -3y. Naka-cancel out ang term na 3y at -3y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2x-4x=5-7$$

Idagdag ang 2x sa -4x.

$$-2x=5-7$$

Idagdag ang 5 sa -7.

$$-2x=-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=1$$

I-substitute ang 1 para sa x sa 4x+3y=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$4+3y=7$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y=3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=1$$