Lutasin ang {l}{2x+3y=2}{5x+y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 2 } \\ { 5 x + y = 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{16}{13} = 1\frac{3}{13} \approx 1.230769231$$

$$y=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+3y=2,5x+y=6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+3y=2$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-3y+2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -3y+2.

$$x=-\frac{3}{2}y+1$$

I-substitute ang -\frac{3y}{2}+1 para sa x sa kabilang equation na 5x+y=6.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+1\right)+y=6$$

I-multiply ang 5 times -\frac{3y}{2}+1.

$$-\frac{15}{2}y+5+y=6$$

Idagdag ang -\frac{15y}{2} sa y.

$$-\frac{13}{2}y+5=6$$

I-subtract ang 5 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{13}{2}y=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{13}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{2}{13}$$

I-substitute ang -\frac{2}{13} para sa y sa x=-\frac{3}{2}y+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{2}{13}\right)+1$$

I-multiply ang -\frac{3}{2} times -\frac{2}{13} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{3}{13}+1$$

Idagdag ang 1 sa \frac{3}{13}.

$$x=\frac{16}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{16}{13},y=-\frac{2}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+3y=2,5x+y=6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&3\\5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 5}&-\frac{3}{2-3\times 5}\\-\frac{5}{2-3\times 5}&\frac{2}{2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 2+\frac{3}{13}\times 6\\\frac{5}{13}\times 2-\frac{2}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{13}\\-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{16}{13},y=-\frac{2}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+3y=2,5x+y=6$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 2,2\times 5x+2y=2\times 6$$

Pasimplehin.

$$10x+15y=10,10x+2y=12$$

I-subtract ang 10x+2y=12 mula sa 10x+15y=10 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$10x-10x+15y-2y=10-12$$

Idagdag ang 10x sa -10x. Naka-cancel out ang term na 10x at -10x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$15y-2y=10-12$$

Idagdag ang 15y sa -2y.

$$13y=10-12$$

Idagdag ang 10 sa -12.

$$13y=-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 13.

$$y=-\frac{2}{13}$$

I-substitute ang -\frac{2}{13} para sa y sa 5x+y=6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x-\frac{2}{13}=6$$

Idagdag ang \frac{2}{13} sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=\frac{80}{13}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{16}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{16}{13},y=-\frac{2}{13}$$