Lutasin ang {l}{2x+3y=12}{4x+y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 12 } \\ { 4 x + y = 14 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+3y=12,4x+y=14$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+3y=12$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-3y+12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+12\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -3y+12.

$$x=-\frac{3}{2}y+6$$

I-substitute ang -\frac{3y}{2}+6 para sa x sa kabilang equation na 4x+y=14.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+6\right)+y=14$$

I-multiply ang 4 times -\frac{3y}{2}+6.

$$-6y+24+y=14$$

Idagdag ang -6y sa y.

$$-5y+24=14$$

I-subtract ang 24 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-5y=-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x=-\frac{3}{2}y+6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+6$$

I-multiply ang -\frac{3}{2} times 2.

$$x=-3+6$$

Idagdag ang 6 sa -3.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+3y=12,4x+y=14$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 4}&-\frac{3}{2-3\times 4}\\-\frac{4}{2-3\times 4}&\frac{2}{2-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 12+\frac{3}{10}\times 14\\\frac{2}{5}\times 12-\frac{1}{5}\times 14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+3y=12,4x+y=14$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 12,2\times 4x+2y=2\times 14$$

Pasimplehin.

$$8x+12y=48,8x+2y=28$$

I-subtract ang 8x+2y=28 mula sa 8x+12y=48 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$8x-8x+12y-2y=48-28$$

Idagdag ang 8x sa -8x. Naka-cancel out ang term na 8x at -8x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$12y-2y=48-28$$

Idagdag ang 12y sa -2y.

$$10y=48-28$$

Idagdag ang 48 sa -28.

$$10y=20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa 4x+y=14. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x+2=14$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=2$$