Lutasin ang {l}{2x+2y=28}{x+3y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 28 } \\ { x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=9$$

$$y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+2y=28,x+3y=24$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+2y=28$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-2y+28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+28\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -2y+28.

$$x=-y+14$$

I-substitute ang -y+14 para sa x sa kabilang equation na x+3y=24.

$$-y+14+3y=24$$

Idagdag ang -y sa 3y.

$$2y+14=24$$

I-subtract ang 14 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa x=-y+14. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-5+14$$

Idagdag ang 14 sa -5.

$$x=9$$

Nalutas na ang system.

$$x=9,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+2y=28,x+3y=24$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2}&-\frac{2}{2\times 3-2}\\-\frac{1}{2\times 3-2}&\frac{2}{2\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 28-\frac{1}{2}\times 24\\-\frac{1}{4}\times 28+\frac{1}{2}\times 24\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=9,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+2y=28,x+3y=24$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$2x+2y=28,2x+2\times 3y=2\times 24$$

Pasimplehin.

$$2x+2y=28,2x+6y=48$$

I-subtract ang 2x+6y=48 mula sa 2x+2y=28 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x+2y-6y=28-48$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2y-6y=28-48$$

Idagdag ang 2y sa -6y.

$$-4y=28-48$$

Idagdag ang 28 sa -48.

$$-4y=-20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa x+3y=24. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+3\times 5=24$$

I-multiply ang 3 times 5.

$$x+15=24$$

I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=9$$

Nalutas na ang system.

$$x=9,y=5$$