Lutasin ang {l}{2x+2y=0}{3x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 0 } \\ { 3 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+2y=0,3x-y=2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+2y=0$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-2y$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2\right)y$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -2y.

$$x=-y$$

I-substitute ang -y para sa x sa kabilang equation na 3x-y=2.

$$3\left(-1\right)y-y=2$$

I-multiply ang 3 times -y.

$$-3y-y=2$$

Idagdag ang -3y sa -y.

$$-4y=2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$y=-\frac{1}{2}$$

I-substitute ang -\frac{1}{2} para sa y sa x=-y. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\left(-\frac{1}{2}\right)$$

I-multiply ang -1 times -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+2y=0,3x-y=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-2\times 3}&-\frac{2}{2\left(-1\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-2\times 3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+2y=0,3x-y=2$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$3\times 2x+3\times 2y=0,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Pasimplehin.

$$6x+6y=0,6x-2y=4$$

I-subtract ang 6x-2y=4 mula sa 6x+6y=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x+6y+2y=-4$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$6y+2y=-4$$

Idagdag ang 6y sa 2y.

$$8y=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$y=-\frac{1}{2}$$

I-substitute ang -\frac{1}{2} para sa y sa 3x-y=2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x-\left(-\frac{1}{2}\right)=2$$

I-subtract ang \frac{1}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=\frac{3}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$