Lutasin ang {l}{2w+1n=5050}{3w+2n=9050}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 w + 1 n = 5050 } \\ { 3 w + 2 n = 9050 } \end{array} \right.$$

I-solve ang w, n

$$w=1050$$

$$n=2950$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa w sa pamamagitan ng pag-isolate sa w sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2w+n=5050$$

I-subtract ang n mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2w=-n+5050$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$w=\frac{1}{2}\left(-n+5050\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -n+5050.

$$w=-\frac{1}{2}n+2525$$

I-substitute ang -\frac{n}{2}+2525 para sa w sa kabilang equation na 3w+2n=9050.

$$3\left(-\frac{1}{2}n+2525\right)+2n=9050$$

I-multiply ang 3 times -\frac{n}{2}+2525.

$$-\frac{3}{2}n+7575+2n=9050$$

Idagdag ang -\frac{3n}{2} sa 2n.

$$\frac{1}{2}n+7575=9050$$

I-subtract ang 7575 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{2}n=1475$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$n=2950$$

I-substitute ang 2950 para sa n sa w=-\frac{1}{2}n+2525. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang w nang direkta.

$$w=-\frac{1}{2}\times 2950+2525$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times 2950.

$$w=-1475+2525$$

Idagdag ang 2525 sa -1475.

$$w=1050$$

Nalutas na ang system.

$$w=1050,n=2950$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5050-9050\\-3\times 5050+2\times 9050\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1050\\2950\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na w at n.

$$w=1050,n=2950$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

Para gawing magkatumbas ang 2w at 3w, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$3\times 2w+3n=3\times 5050,2\times 3w+2\times 2n=2\times 9050$$

Pasimplehin.

$$6w+3n=15150,6w+4n=18100$$

I-subtract ang 6w+4n=18100 mula sa 6w+3n=15150 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6w-6w+3n-4n=15150-18100$$

Idagdag ang 6w sa -6w. Naka-cancel out ang term na 6w at -6w ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3n-4n=15150-18100$$

Idagdag ang 3n sa -4n.

$$-n=15150-18100$$

Idagdag ang 15150 sa -18100.

$$-n=-2950$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$n=2950$$

I-substitute ang 2950 para sa n sa 3w+2n=9050. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang w nang direkta.

$$3w+2\times 2950=9050$$

I-multiply ang 2 times 2950.

$$3w+5900=9050$$

I-subtract ang 5900 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3w=3150$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$w=1050$$

Nalutas na ang system.

$$w=1050,n=2950$$