Lutasin ang {l}{2n-3m=1}{m+n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 n - 3 m = 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang n, m

$$n=2$$

$$m=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2n-3m=1,n+m=3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa n sa pamamagitan ng pag-isolate sa n sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2n-3m=1$$

Idagdag ang 3m sa magkabilang dulo ng equation.

$$2n=3m+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$n=\frac{1}{2}\left(3m+1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 3m+1.

$$n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}$$

I-substitute ang \frac{3m+1}{2} para sa n sa kabilang equation na n+m=3.

$$\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}+m=3$$

Idagdag ang \frac{3m}{2} sa m.

$$\frac{5}{2}m+\frac{1}{2}=3$$

I-subtract ang \frac{1}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{5}{2}m=\frac{5}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{5}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$m=1$$

I-substitute ang 1 para sa m sa n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang n nang direkta.

$$n=\frac{3+1}{2}$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa \frac{3}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$n=2$$

Nalutas na ang system.

$$n=2,m=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2n-3m=1,n+m=3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na n at m.

$$n=2,m=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2n-3m=1,n+m=3$$

Para gawing magkatumbas ang 2n at n, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$2n-3m=1,2n+2m=2\times 3$$

Pasimplehin.

$$2n-3m=1,2n+2m=6$$

I-subtract ang 2n+2m=6 mula sa 2n-3m=1 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2n-2n-3m-2m=1-6$$

Idagdag ang 2n sa -2n. Naka-cancel out ang term na 2n at -2n ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-3m-2m=1-6$$

Idagdag ang -3m sa -2m.

$$-5m=1-6$$

Idagdag ang 1 sa -6.

$$-5m=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$m=1$$

I-substitute ang 1 para sa m sa n+m=3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang n nang direkta.

$$n+1=3$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$n=2$$

Nalutas na ang system.

$$n=2,m=1$$