Lutasin ang {l}{2m-3n=-1}{m+n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = - 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang m, n

$$m = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$n = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa m sa pamamagitan ng pag-isolate sa m sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2m-3n=-1$$

Idagdag ang 3n sa magkabilang dulo ng equation.

$$2m=3n-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n-1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 3n-1.

$$m=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}$$

I-substitute ang \frac{3n-1}{2} para sa m sa kabilang equation na m+n=3.

$$\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}+n=3$$

Idagdag ang \frac{3n}{2} sa n.

$$\frac{5}{2}n-\frac{1}{2}=3$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{5}{2}n=\frac{7}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{5}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$n=\frac{7}{5}$$

I-substitute ang \frac{7}{5} para sa n sa m=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang m nang direkta.

$$m=\frac{3}{2}\times \frac{7}{5}-\frac{1}{2}$$

I-multiply ang \frac{3}{2} times \frac{7}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$m=\frac{21}{10}-\frac{1}{2}$$

Idagdag ang -\frac{1}{2} sa \frac{21}{10} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$m=\frac{8}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na m at n.

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

Para gawing magkatumbas ang 2m at m, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$2m-3n=-1,2m+2n=2\times 3$$

Pasimplehin.

$$2m-3n=-1,2m+2n=6$$

I-subtract ang 2m+2n=6 mula sa 2m-3n=-1 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2m-2m-3n-2n=-1-6$$

Idagdag ang 2m sa -2m. Naka-cancel out ang term na 2m at -2m ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-3n-2n=-1-6$$

Idagdag ang -3n sa -2n.

$$-5n=-1-6$$

Idagdag ang -1 sa -6.

$$-5n=-7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$n=\frac{7}{5}$$

I-substitute ang \frac{7}{5} para sa n sa m+n=3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang m nang direkta.

$$m+\frac{7}{5}=3$$

I-subtract ang \frac{7}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$m=\frac{8}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$