Lutasin ang {l}{2bx+ay=2ab}{bx-ay=4ab}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 b x + a y = 2 a b } \\ { b x - a y = 4 a b } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2bx+ay=2ab$$

I-subtract ang ay mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2b.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2b} times a\left(-y+2b\right).

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

I-substitute ang a-\frac{ay}{2b} para sa x sa kabilang equation na bx+\left(-a\right)y=4ab.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

I-multiply ang b times a-\frac{ay}{2b}.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

Idagdag ang -\frac{ay}{2} sa -ay.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

I-subtract ang ba mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{3a}{2}.

$$y=-2b$$

I-substitute ang -2b para sa y sa x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

I-multiply ang -\frac{a}{2b} times -2b.

$$x=a+a$$

Idagdag ang a sa a.

$$x=2a$$

Nalutas na ang system.

$$x=2a,y=-2b$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2a,y=-2b$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Para gawing magkatumbas ang 2bx at bx, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang b at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2b.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

Pasimplehin.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

I-subtract ang 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} mula sa 2b^{2}x+aby=2ab^{2} sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Idagdag ang 2b^{2}x sa -2b^{2}x. Naka-cancel out ang term na 2b^{2}x at -2b^{2}x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Idagdag ang bay sa 2bay.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Idagdag ang 2ab^{2} sa -8ab^{2}.

$$3aby=-6ab^{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3ba.

$$y=-2b$$

I-substitute ang -2b para sa y sa bx+\left(-a\right)y=4ab. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

I-multiply ang -a times -2b.

$$bx+2ab=4ab$$

I-subtract ang 2ba mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$bx=2ab$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang b.

$$x=2a$$

Nalutas na ang system.

$$x=2a,y=-2b$$

I-solve ang x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2bx+ay=2ab$$

I-subtract ang ay mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2b.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2b} times a\left(-y+2b\right).

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

I-substitute ang a-\frac{ay}{2b} para sa x sa kabilang equation na bx+\left(-a\right)y=4ab.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

I-multiply ang b times a-\frac{ay}{2b}.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

Idagdag ang -\frac{ay}{2} sa -ay.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

I-subtract ang ba mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{3a}{2}.

$$y=-2b$$

I-substitute ang -2b para sa y sa x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

I-multiply ang -\frac{a}{2b} times -2b.

$$x=a+a$$

Idagdag ang a sa a.

$$x=2a$$

Nalutas na ang system.

$$x=2a,y=-2b$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2a,y=-2b$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Para gawing magkatumbas ang 2bx at bx, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang b at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2b.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

Pasimplehin.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

I-subtract ang 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} mula sa 2b^{2}x+aby=2ab^{2} sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Idagdag ang 2b^{2}x sa -2b^{2}x. Naka-cancel out ang term na 2b^{2}x at -2b^{2}x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Idagdag ang bay sa 2bay.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Idagdag ang 2ab^{2} sa -8ab^{2}.

$$3aby=-6ab^{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3ba.

$$y=-2b$$

I-substitute ang -2b para sa y sa bx+\left(-a\right)y=4ab. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

I-multiply ang -a times -2b.

$$bx+2ab=4ab$$

I-subtract ang 2ba mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$bx=2ab$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang b.

$$x=2a$$

Nalutas na ang system.

$$x=2a,y=-2b$$