Lutasin ang {l}{2a+b=8}{3a+2b=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + b = 8 } \\ { 3 a + 2 b = 13 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a=3$$

$$b=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2a+b=8,3a+2b=13$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2a+b=8$$

I-subtract ang b mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2a=-b+8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-b+8\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -b+8.

$$a=-\frac{1}{2}b+4$$

I-substitute ang -\frac{b}{2}+4 para sa a sa kabilang equation na 3a+2b=13.

$$3\left(-\frac{1}{2}b+4\right)+2b=13$$

I-multiply ang 3 times -\frac{b}{2}+4.

$$-\frac{3}{2}b+12+2b=13$$

Idagdag ang -\frac{3b}{2} sa 2b.

$$\frac{1}{2}b+12=13$$

I-subtract ang 12 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{2}b=1$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$b=2$$

I-substitute ang 2 para sa b sa a=-\frac{1}{2}b+4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times 2.

$$a=-1+4$$

Idagdag ang 4 sa -1.

$$a=3$$

Nalutas na ang system.

$$a=3,b=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2a+b=8,3a+2b=13$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\13\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\13\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\13\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\13\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\13\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\13\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8-13\\-3\times 8+2\times 13\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=3,b=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2a+b=8,3a+2b=13$$

Para gawing magkatumbas ang 2a at 3a, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$3\times 2a+3b=3\times 8,2\times 3a+2\times 2b=2\times 13$$

Pasimplehin.

$$6a+3b=24,6a+4b=26$$

I-subtract ang 6a+4b=26 mula sa 6a+3b=24 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6a-6a+3b-4b=24-26$$

Idagdag ang 6a sa -6a. Naka-cancel out ang term na 6a at -6a ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3b-4b=24-26$$

Idagdag ang 3b sa -4b.

$$-b=24-26$$

Idagdag ang 24 sa -26.

$$-b=-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$b=2$$

I-substitute ang 2 para sa b sa 3a+2b=13. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$3a+2\times 2=13$$

I-multiply ang 2 times 2.

$$3a+4=13$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3a=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$a=3$$

Nalutas na ang system.

$$a=3,b=2$$