Lutasin ang {l}{2a+b=5}{a+2b=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + b = 5 } \\ { a + 2 b = 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a=3$$

$$b=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2a+b=5,a+2b=1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2a+b=5$$

I-subtract ang b mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2a=-b+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-b+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -b+5.

$$a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}$$

I-substitute ang \frac{-b+5}{2} para sa a sa kabilang equation na a+2b=1.

$$-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}+2b=1$$

Idagdag ang -\frac{b}{2} sa 2b.

$$\frac{3}{2}b+\frac{5}{2}=1$$

I-subtract ang \frac{5}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{3}{2}b=-\frac{3}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{3}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$b=-1$$

I-substitute ang -1 para sa b sa a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times -1.

$$a=\frac{1+5}{2}$$

Idagdag ang \frac{5}{2} sa \frac{1}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a=3$$

Nalutas na ang system.

$$a=3,b=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2a+b=5,a+2b=1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-1}&-\frac{1}{2\times 2-1}\\-\frac{1}{2\times 2-1}&\frac{2}{2\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}\times 5+\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=3,b=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2a+b=5,a+2b=1$$

Para gawing magkatumbas ang 2a at a, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$2a+b=5,2a+2\times 2b=2$$

Pasimplehin.

$$2a+b=5,2a+4b=2$$

I-subtract ang 2a+4b=2 mula sa 2a+b=5 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2a-2a+b-4b=5-2$$

Idagdag ang 2a sa -2a. Naka-cancel out ang term na 2a at -2a ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$b-4b=5-2$$

Idagdag ang b sa -4b.

$$-3b=5-2$$

Idagdag ang 5 sa -2.

$$-3b=3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$b=-1$$

I-substitute ang -1 para sa b sa a+2b=1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a+2\left(-1\right)=1$$

I-multiply ang 2 times -1.

$$a-2=1$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$a=3$$

Nalutas na ang system.

$$a=3,b=-1$$