Lutasin ang {l}{2(3x+y)=1/2}{1/2(2x+8y)=3/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 3 x + y ) = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( 2 x + 8 y ) = \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-\frac{1}{22}\approx -0.045454545$$

$$y=\frac{17}{44}\approx 0.386363636$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

Ipakita ang \frac{\frac{1}{2}}{2} bilang isang single fraction.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

I-multiply ang 2 at 2 para makuha ang 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang parehong equation sa 2, ang reciprocal ng \frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

I-multiply ang \frac{3}{2} at 2 para makuha ang 3.

$$2x+8y=3$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-y+\frac{1}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+\frac{1}{4}\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -y+\frac{1}{4}.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}$$

I-substitute ang -\frac{y}{3}+\frac{1}{12} para sa x sa kabilang equation na 2x+8y=3.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}\right)+8y=3$$

I-multiply ang 2 times -\frac{y}{3}+\frac{1}{12}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{1}{6}+8y=3$$

Idagdag ang -\frac{2y}{3} sa 8y.

$$\frac{22}{3}y+\frac{1}{6}=3$$

I-subtract ang \frac{1}{6} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{22}{3}y=\frac{17}{6}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{22}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{17}{44}$$

I-substitute ang \frac{17}{44} para sa y sa x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{44}+\frac{1}{12}$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times \frac{17}{44} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{17}{132}+\frac{1}{12}$$

Idagdag ang \frac{1}{12} sa -\frac{17}{132} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{1}{22}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

Ipakita ang \frac{\frac{1}{2}}{2} bilang isang single fraction.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

I-multiply ang 2 at 2 para makuha ang 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang parehong equation sa 2, ang reciprocal ng \frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

I-multiply ang \frac{3}{2} at 2 para makuha ang 3.

$$2x+8y=3$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2}&-\frac{1}{3\times 8-2}\\-\frac{2}{3\times 8-2}&\frac{3}{3\times 8-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times \frac{1}{4}-\frac{1}{22}\times 3\\-\frac{1}{11}\times \frac{1}{4}+\frac{3}{22}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22}\\\frac{17}{44}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

Ipakita ang \frac{\frac{1}{2}}{2} bilang isang single fraction.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

I-multiply ang 2 at 2 para makuha ang 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang parehong equation sa 2, ang reciprocal ng \frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

I-multiply ang \frac{3}{2} at 2 para makuha ang 3.

$$2x+8y=3$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$2\times 3x+2y=2\times \frac{1}{4},3\times 2x+3\times 8y=3\times 3$$

Pasimplehin.

$$6x+2y=\frac{1}{2},6x+24y=9$$

I-subtract ang 6x+24y=9 mula sa 6x+2y=\frac{1}{2} sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x+2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

Idagdag ang 2y sa -24y.

$$-22y=\frac{1}{2}-9$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa -9.

$$-22y=-\frac{17}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -22.

$$y=\frac{17}{44}$$

I-substitute ang \frac{17}{44} para sa y sa 2x+8y=3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+8\times \frac{17}{44}=3$$

I-multiply ang 8 times \frac{17}{44}.

$$2x+\frac{34}{11}=3$$

I-subtract ang \frac{34}{11} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-\frac{1}{11}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=-\frac{1}{22}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$