Lutasin ang {l}{2+3x-y=20}{x-2=y+2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 + 3 x - y = 20 } \\ { x - 2 = y + 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=7$$

$$y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo.

$$3x-y=20-2$$

I-subtract ang 2 mula sa 20 para makuha ang 18.

$$3x-y=18$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$x-2-y=2$$

Idagdag ang 2 sa parehong bahagi.

$$x-y=2+2$$

Idagdag ang 2 at 2 para makuha ang 4.

$$x-y=4$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-y=18,x-y=4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-y=18$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=y+18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+18\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times y+18.

$$x=\frac{1}{3}y+6$$

I-substitute ang \frac{y}{3}+6 para sa x sa kabilang equation na x-y=4.

$$\frac{1}{3}y+6-y=4$$

Idagdag ang \frac{y}{3} sa -y.

$$-\frac{2}{3}y+6=4$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{2}{3}y=-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{2}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x=\frac{1}{3}y+6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{3}\times 3+6$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 3.

$$x=1+6$$

Idagdag ang 6 sa 1.

$$x=7$$

Nalutas na ang system.

$$x=7,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo.

$$3x-y=20-2$$

I-subtract ang 2 mula sa 20 para makuha ang 18.

$$3x-y=18$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$x-2-y=2$$

Idagdag ang 2 sa parehong bahagi.

$$x-y=2+2$$

Idagdag ang 2 at 2 para makuha ang 4.

$$x-y=4$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-y=18,x-y=4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 18-\frac{1}{2}\times 4\\\frac{1}{2}\times 18-\frac{3}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=7,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo.

$$3x-y=20-2$$

I-subtract ang 2 mula sa 20 para makuha ang 18.

$$3x-y=18$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$x-2-y=2$$

Idagdag ang 2 sa parehong bahagi.

$$x-y=2+2$$

Idagdag ang 2 at 2 para makuha ang 4.

$$x-y=4$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x-y=18,x-y=4$$

I-subtract ang x-y=4 mula sa 3x-y=18 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3x-x-y+y=18-4$$

Idagdag ang -y sa y. Naka-cancel out ang term na -y at y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3x-x=18-4$$

Idagdag ang 3x sa -x.

$$2x=18-4$$

Idagdag ang 18 sa -4.

$$2x=14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=7$$

I-substitute ang 7 para sa x sa x-y=4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$7-y=4$$

I-subtract ang 7 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-y=-3$$

Nalutas na ang system.

$$x=7,y=3$$