Lutasin ang {l}{16x-10y=10}{-8x-6y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 10 y = 10 } \\ { - 8 x - 6 y = 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=0$$

$$y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$16x-10y=10$$

Idagdag ang 10y sa magkabilang dulo ng equation.

$$16x=10y+10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 16.

$$x=\frac{1}{16}\left(10y+10\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{16} times 10+10y.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}$$

I-substitute ang \frac{5+5y}{8} para sa x sa kabilang equation na -8x-6y=6.

$$-8\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}\right)-6y=6$$

I-multiply ang -8 times \frac{5+5y}{8}.

$$-5y-5-6y=6$$

Idagdag ang -5y sa -6y.

$$-11y-5=6$$

Idagdag ang 5 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-11y=11$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -11.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{5}{8}\left(-1\right)+\frac{5}{8}$$

I-multiply ang \frac{5}{8} times -1.

$$x=\frac{-5+5}{8}$$

Idagdag ang \frac{5}{8} sa -\frac{5}{8} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&-\frac{-10}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&\frac{16}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}&-\frac{5}{88}\\-\frac{1}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}\times 10-\frac{5}{88}\times 6\\-\frac{1}{22}\times 10-\frac{1}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=0,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

Para gawing magkatumbas ang 16x at -8x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -8 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 16.

$$-8\times 16x-8\left(-10\right)y=-8\times 10,16\left(-8\right)x+16\left(-6\right)y=16\times 6$$

Pasimplehin.

$$-128x+80y=-80,-128x-96y=96$$

I-subtract ang -128x-96y=96 mula sa -128x+80y=-80 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-128x+128x+80y+96y=-80-96$$

Idagdag ang -128x sa 128x. Naka-cancel out ang term na -128x at 128x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$80y+96y=-80-96$$

Idagdag ang 80y sa 96y.

$$176y=-80-96$$

Idagdag ang -80 sa -96.

$$176y=-176$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 176.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa -8x-6y=6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-8x-6\left(-1\right)=6$$

I-multiply ang -6 times -1.

$$-8x+6=6$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-8x=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=-1$$