Lutasin ang {l}{15x+107y=1}{71x+179y=-287}

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 107 y = 1 } \\ { 71 x + 179 y = - 287 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{3861}{614} = -6\frac{177}{614} \approx -6.288273616$$

$$y=\frac{547}{614}\approx 0.890879479$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$15x+107y=1$$

I-subtract ang 107y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$15x=-107y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 15.

$$x=\frac{1}{15}\left(-107y+1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{15} times -107y+1.

$$x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}$$

I-substitute ang \frac{-107y+1}{15} para sa x sa kabilang equation na 71x+179y=-287.

$$71\left(-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}\right)+179y=-287$$

I-multiply ang 71 times \frac{-107y+1}{15}.

$$-\frac{7597}{15}y+\frac{71}{15}+179y=-287$$

Idagdag ang -\frac{7597y}{15} sa 179y.

$$-\frac{4912}{15}y+\frac{71}{15}=-287$$

I-subtract ang \frac{71}{15} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{4912}{15}y=-\frac{4376}{15}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{4912}{15}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{547}{614}$$

I-substitute ang \frac{547}{614} para sa y sa x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{107}{15}\times \frac{547}{614}+\frac{1}{15}$$

I-multiply ang -\frac{107}{15} times \frac{547}{614} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{58529}{9210}+\frac{1}{15}$$

Idagdag ang \frac{1}{15} sa -\frac{58529}{9210} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{179}{15\times 179-107\times 71}&-\frac{107}{15\times 179-107\times 71}\\-\frac{71}{15\times 179-107\times 71}&\frac{15}{15\times 179-107\times 71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}&\frac{107}{4912}\\\frac{71}{4912}&-\frac{15}{4912}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}+\frac{107}{4912}\left(-287\right)\\\frac{71}{4912}-\frac{15}{4912}\left(-287\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3861}{614}\\\frac{547}{614}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Para gawing magkatumbas ang 15x at 71x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 71 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 15.

$$71\times 15x+71\times 107y=71,15\times 71x+15\times 179y=15\left(-287\right)$$

Pasimplehin.

$$1065x+7597y=71,1065x+2685y=-4305$$

I-subtract ang 1065x+2685y=-4305 mula sa 1065x+7597y=71 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$1065x-1065x+7597y-2685y=71+4305$$

Idagdag ang 1065x sa -1065x. Naka-cancel out ang term na 1065x at -1065x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$7597y-2685y=71+4305$$

Idagdag ang 7597y sa -2685y.

$$4912y=71+4305$$

Idagdag ang 71 sa 4305.

$$4912y=4376$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4912.

$$y=\frac{547}{614}$$

I-substitute ang \frac{547}{614} para sa y sa 71x+179y=-287. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$71x+179\times \frac{547}{614}=-287$$

I-multiply ang 179 times \frac{547}{614}.

$$71x+\frac{97913}{614}=-287$$

I-subtract ang \frac{97913}{614} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$71x=-\frac{274131}{614}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 71.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$