Lutasin ang {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$12x+4y=6$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$12x=-4y+6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{12} times -4y+6.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

I-substitute ang -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} para sa x sa kabilang equation na 9x+16y=8.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

I-multiply ang 9 times -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

Idagdag ang -3y sa 16y.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

I-subtract ang \frac{9}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$13y=\frac{7}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 13.

$$y=\frac{7}{26}$$

I-substitute ang \frac{7}{26} para sa y sa x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times \frac{7}{26} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa -\frac{7}{78} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{16}{39}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Para gawing magkatumbas ang 12x at 9x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 9 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 12.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

Pasimplehin.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

I-subtract ang 108x+192y=96 mula sa 108x+36y=54 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

Idagdag ang 108x sa -108x. Naka-cancel out ang term na 108x at -108x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$36y-192y=54-96$$

Idagdag ang 36y sa -192y.

$$-156y=54-96$$

Idagdag ang 54 sa -96.

$$-156y=-42$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -156.

$$y=\frac{7}{26}$$

I-substitute ang \frac{7}{26} para sa y sa 9x+16y=8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

I-multiply ang 16 times \frac{7}{26}.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

I-subtract ang \frac{56}{13} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$9x=\frac{48}{13}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$x=\frac{16}{39}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$