Lutasin ang {l}{12a+4b=-4}{3a-9b=-21}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 a + 4 b = - 4 } \\ { 3 a - 9 b = - 21 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a=-1$$

$$b=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$12a+4b=-4$$

I-subtract ang 4b mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$12a=-4b-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12.

$$a=\frac{1}{12}\left(-4b-4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{12} times -4b-4.

$$a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}$$

I-substitute ang \frac{-b-1}{3} para sa a sa kabilang equation na 3a-9b=-21.

$$3\left(-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}\right)-9b=-21$$

I-multiply ang 3 times \frac{-b-1}{3}.

$$-b-1-9b=-21$$

Idagdag ang -b sa -9b.

$$-10b-1=-21$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-10b=-20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$b=2$$

I-substitute ang 2 para sa b sa a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times 2.

$$a=\frac{-2-1}{3}$$

Idagdag ang -\frac{1}{3} sa -\frac{2}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a=-1$$

Nalutas na ang system.

$$a=-1,b=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{12\left(-9\right)-4\times 3}&-\frac{4}{12\left(-9\right)-4\times 3}\\-\frac{3}{12\left(-9\right)-4\times 3}&\frac{12}{12\left(-9\right)-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}\left(-4\right)+\frac{1}{30}\left(-21\right)\\\frac{1}{40}\left(-4\right)-\frac{1}{10}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=-1,b=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

Para gawing magkatumbas ang 12a at 3a, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 12.

$$3\times 12a+3\times 4b=3\left(-4\right),12\times 3a+12\left(-9\right)b=12\left(-21\right)$$

Pasimplehin.

$$36a+12b=-12,36a-108b=-252$$

I-subtract ang 36a-108b=-252 mula sa 36a+12b=-12 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$36a-36a+12b+108b=-12+252$$

Idagdag ang 36a sa -36a. Naka-cancel out ang term na 36a at -36a ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$12b+108b=-12+252$$

Idagdag ang 12b sa 108b.

$$120b=-12+252$$

Idagdag ang -12 sa 252.

$$120b=240$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 120.

$$b=2$$

I-substitute ang 2 para sa b sa 3a-9b=-21. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$3a-9\times 2=-21$$

I-multiply ang -9 times 2.

$$3a-18=-21$$

Idagdag ang 18 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3a=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$a=-1$$

Nalutas na ang system.

$$a=-1,b=2$$