Lutasin ang {l}{11a=5b+48}{7a=13b-840}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 a = 5 b + 48 } \\ { 7 a = 13 b - 840 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a = \frac{134}{3} = 44\frac{2}{3} \approx 44.666666667$$

$$b = \frac{266}{3} = 88\frac{2}{3} \approx 88.666666667$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 5b mula sa magkabilang dulo.

$$11a-5b=48$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 13b mula sa magkabilang dulo.

$$7a-13b=-840$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$11a-5b=48,7a-13b=-840$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$11a-5b=48$$

Idagdag ang 5b sa magkabilang dulo ng equation.

$$11a=5b+48$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 11.

$$a=\frac{1}{11}\left(5b+48\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{11} times 5b+48.

$$a=\frac{5}{11}b+\frac{48}{11}$$

I-substitute ang \frac{5b+48}{11} para sa a sa kabilang equation na 7a-13b=-840.

$$7\left(\frac{5}{11}b+\frac{48}{11}\right)-13b=-840$$

I-multiply ang 7 times \frac{5b+48}{11}.

$$\frac{35}{11}b+\frac{336}{11}-13b=-840$$

Idagdag ang \frac{35b}{11} sa -13b.

$$-\frac{108}{11}b+\frac{336}{11}=-840$$

I-subtract ang \frac{336}{11} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{108}{11}b=-\frac{9576}{11}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{108}{11}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$b=\frac{266}{3}$$

I-substitute ang \frac{266}{3} para sa b sa a=\frac{5}{11}b+\frac{48}{11}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=\frac{5}{11}\times \frac{266}{3}+\frac{48}{11}$$

I-multiply ang \frac{5}{11} times \frac{266}{3} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a=\frac{1330}{33}+\frac{48}{11}$$

Idagdag ang \frac{48}{11} sa \frac{1330}{33} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a=\frac{134}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$a=\frac{134}{3},b=\frac{266}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 5b mula sa magkabilang dulo.

$$11a-5b=48$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 13b mula sa magkabilang dulo.

$$7a-13b=-840$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$11a-5b=48,7a-13b=-840$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{11\left(-13\right)-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{11\left(-13\right)-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{11\left(-13\right)-\left(-5\times 7\right)}&\frac{11}{11\left(-13\right)-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{108}&-\frac{5}{108}\\\frac{7}{108}&-\frac{11}{108}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{108}\times 48-\frac{5}{108}\left(-840\right)\\\frac{7}{108}\times 48-\frac{11}{108}\left(-840\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{134}{3}\\\frac{266}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=\frac{134}{3},b=\frac{266}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 5b mula sa magkabilang dulo.

$$11a-5b=48$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 13b mula sa magkabilang dulo.

$$7a-13b=-840$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$11a-5b=48,7a-13b=-840$$

Para gawing magkatumbas ang 11a at 7a, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 11.

$$7\times 11a+7\left(-5\right)b=7\times 48,11\times 7a+11\left(-13\right)b=11\left(-840\right)$$

Pasimplehin.

$$77a-35b=336,77a-143b=-9240$$

I-subtract ang 77a-143b=-9240 mula sa 77a-35b=336 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$77a-77a-35b+143b=336+9240$$

Idagdag ang 77a sa -77a. Naka-cancel out ang term na 77a at -77a ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-35b+143b=336+9240$$

Idagdag ang -35b sa 143b.

$$108b=336+9240$$

Idagdag ang 336 sa 9240.

$$108b=9576$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 108.

$$b=\frac{266}{3}$$

I-substitute ang \frac{266}{3} para sa b sa 7a-13b=-840. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$7a-13\times \frac{266}{3}=-840$$

I-multiply ang -13 times \frac{266}{3}.

$$7a-\frac{3458}{3}=-840$$

Idagdag ang \frac{3458}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$7a=\frac{938}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$a=\frac{134}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$a=\frac{134}{3},b=\frac{266}{3}$$