Lutasin ang {l}{10x+2y=50}{7x+2y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 2 y = 50 } \\ { 7 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=10$$

$$y=-25$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$10x+2y=50$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$10x=-2y+50$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y+50\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{10} times -2y+50.

$$x=-\frac{1}{5}y+5$$

I-substitute ang -\frac{y}{5}+5 para sa x sa kabilang equation na 7x+2y=20.

$$7\left(-\frac{1}{5}y+5\right)+2y=20$$

I-multiply ang 7 times -\frac{y}{5}+5.

$$-\frac{7}{5}y+35+2y=20$$

Idagdag ang -\frac{7y}{5} sa 2y.

$$\frac{3}{5}y+35=20$$

I-subtract ang 35 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{3}{5}y=-15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{3}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-25$$

I-substitute ang -25 para sa y sa x=-\frac{1}{5}y+5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-25\right)+5$$

I-multiply ang -\frac{1}{5} times -25.

$$x=5+5$$

Idagdag ang 5 sa 5.

$$x=10$$

Nalutas na ang system.

$$x=10,y=-25$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10\times 2-2\times 7}&-\frac{2}{10\times 2-2\times 7}\\-\frac{7}{10\times 2-2\times 7}&\frac{10}{10\times 2-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{7}{6}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 50-\frac{1}{3}\times 20\\-\frac{7}{6}\times 50+\frac{5}{3}\times 20\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-25\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=10,y=-25$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

I-subtract ang 7x+2y=20 mula sa 10x+2y=50 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$10x-7x+2y-2y=50-20$$

Idagdag ang 2y sa -2y. Naka-cancel out ang term na 2y at -2y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$10x-7x=50-20$$

Idagdag ang 10x sa -7x.

$$3x=50-20$$

Idagdag ang 50 sa -20.

$$3x=30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=10$$

I-substitute ang 10 para sa x sa 7x+2y=20. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$7\times 10+2y=20$$

I-multiply ang 7 times 10.

$$70+2y=20$$

I-subtract ang 70 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=-50$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=-25$$

Nalutas na ang system.

$$x=10,y=-25$$