Lutasin ang {l}{1x+3y=9}{3x+2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 x + 3 y = 9 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{6}{7}\approx 0.857142857$$

$$y = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7} \approx 2.714285714$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+3y=9,3x+2y=8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+3y=9$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-3y+9$$

I-substitute ang -3y+9 para sa x sa kabilang equation na 3x+2y=8.

$$3\left(-3y+9\right)+2y=8$$

I-multiply ang 3 times -3y+9.

$$-9y+27+2y=8$$

Idagdag ang -9y sa 2y.

$$-7y+27=8$$

I-subtract ang 27 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-7y=-19$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$y=\frac{19}{7}$$

I-substitute ang \frac{19}{7} para sa y sa x=-3y+9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-3\times \frac{19}{7}+9$$

I-multiply ang -3 times \frac{19}{7}.

$$x=-\frac{57}{7}+9$$

Idagdag ang 9 sa -\frac{57}{7}.

$$x=\frac{6}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{19}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+3y=9,3x+2y=8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-3\times 3}&-\frac{3}{2-3\times 3}\\-\frac{3}{2-3\times 3}&\frac{1}{2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 9+\frac{3}{7}\times 8\\\frac{3}{7}\times 9-\frac{1}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{7}\\\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{19}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+3y=9,3x+2y=8$$

Para gawing magkatumbas ang x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$3x+3\times 3y=3\times 9,3x+2y=8$$

Pasimplehin.

$$3x+9y=27,3x+2y=8$$

I-subtract ang 3x+2y=8 mula sa 3x+9y=27 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3x-3x+9y-2y=27-8$$

Idagdag ang 3x sa -3x. Naka-cancel out ang term na 3x at -3x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$9y-2y=27-8$$

Idagdag ang 9y sa -2y.

$$7y=27-8$$

Idagdag ang 27 sa -8.

$$7y=19$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$y=\frac{19}{7}$$

I-substitute ang \frac{19}{7} para sa y sa 3x+2y=8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+2\times \frac{19}{7}=8$$

I-multiply ang 2 times \frac{19}{7}.

$$3x+\frac{38}{7}=8$$

I-subtract ang \frac{38}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=\frac{18}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{6}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{19}{7}$$