Lutasin ang {l}{-x-y=11}{-x+y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - y = 11 } \\ { - x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-5$$

$$y=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-x-y=11,-x+y=-1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-x-y=11$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=y+11$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=-\left(y+11\right)$$

I-multiply ang -1 times y+11.

$$x=-y-11$$

I-substitute ang -y-11 para sa x sa kabilang equation na -x+y=-1.

$$-\left(-y-11\right)+y=-1$$

I-multiply ang -1 times -y-11.

$$y+11+y=-1$$

Idagdag ang y sa y.

$$2y+11=-1$$

I-subtract ang 11 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=-6$$

I-substitute ang -6 para sa y sa x=-y-11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\left(-6\right)-11$$

I-multiply ang -1 times -6.

$$x=6-11$$

Idagdag ang -11 sa 6.

$$x=-5$$

Nalutas na ang system.

$$x=-5,y=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-x-y=11,-x+y=-1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-1&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-1&-1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-1-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 11-\frac{1}{2}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}\times 11+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-5,y=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-x-y=11,-x+y=-1$$

I-subtract ang -x+y=-1 mula sa -x-y=11 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-x+x-y-y=11+1$$

Idagdag ang -x sa x. Naka-cancel out ang term na -x at x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-y-y=11+1$$

Idagdag ang -y sa -y.

$$-2y=11+1$$

Idagdag ang 11 sa 1.

$$-2y=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$y=-6$$

I-substitute ang -6 para sa y sa -x+y=-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-x-6=-1$$

Idagdag ang 6 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=-5$$

Nalutas na ang system.

$$x=-5,y=-6$$