Lutasin ang {l}{-x-y=-2}{9x-2y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - y = - 2 } \\ { 9 x - 2 y = - 15 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-x-y=-2,9x-2y=-15$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-x-y=-2$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=y-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=-\left(y-2\right)$$

I-multiply ang -1 times y-2.

$$x=-y+2$$

I-substitute ang -y+2 para sa x sa kabilang equation na 9x-2y=-15.

$$9\left(-y+2\right)-2y=-15$$

I-multiply ang 9 times -y+2.

$$-9y+18-2y=-15$$

Idagdag ang -9y sa -2y.

$$-11y+18=-15$$

I-subtract ang 18 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-11y=-33$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -11.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x=-y+2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-3+2$$

Idagdag ang 2 sa -3.

$$x=-1$$

Nalutas na ang system.

$$x=-1,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-x-y=-2,9x-2y=-15$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}&-\frac{-1}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}\\-\frac{9}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{9}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\left(-2\right)+\frac{1}{11}\left(-15\right)\\-\frac{9}{11}\left(-2\right)-\frac{1}{11}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-1,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-x-y=-2,9x-2y=-15$$

Para gawing magkatumbas ang -x at 9x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 9 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -1.

$$9\left(-1\right)x+9\left(-1\right)y=9\left(-2\right),-9x-\left(-2y\right)=-\left(-15\right)$$

Pasimplehin.

$$-9x-9y=-18,-9x+2y=15$$

I-subtract ang -9x+2y=15 mula sa -9x-9y=-18 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-9x+9x-9y-2y=-18-15$$

Idagdag ang -9x sa 9x. Naka-cancel out ang term na -9x at 9x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-9y-2y=-18-15$$

Idagdag ang -9y sa -2y.

$$-11y=-18-15$$

Idagdag ang -18 sa -15.

$$-11y=-33$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -11.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa 9x-2y=-15. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$9x-2\times 3=-15$$

I-multiply ang -2 times 3.

$$9x-6=-15$$

Idagdag ang 6 sa magkabilang dulo ng equation.

$$9x=-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$x=-1$$

Nalutas na ang system.

$$x=-1,y=3$$