Lutasin ang {l}{-x-6y=-16}{5x-y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 6 y = - 16 } \\ { 5 x - y = 18 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-x-6y=-16,5x-y=18$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-x-6y=-16$$

Idagdag ang 6y sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=6y-16$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=-\left(6y-16\right)$$

I-multiply ang -1 times 6y-16.

$$x=-6y+16$$

I-substitute ang -6y+16 para sa x sa kabilang equation na 5x-y=18.

$$5\left(-6y+16\right)-y=18$$

I-multiply ang 5 times -6y+16.

$$-30y+80-y=18$$

Idagdag ang -30y sa -y.

$$-31y+80=18$$

I-subtract ang 80 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-31y=-62$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -31.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x=-6y+16. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-6\times 2+16$$

I-multiply ang -6 times 2.

$$x=-12+16$$

Idagdag ang 16 sa -12.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-x-6y=-16,5x-y=18$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-\left(-1\right)-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{-6}{-\left(-1\right)-\left(-6\times 5\right)}\\-\frac{5}{-\left(-1\right)-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{1}{-\left(-1\right)-\left(-6\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{31}&\frac{6}{31}\\-\frac{5}{31}&-\frac{1}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{31}\left(-16\right)+\frac{6}{31}\times 18\\-\frac{5}{31}\left(-16\right)-\frac{1}{31}\times 18\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=4,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-x-6y=-16,5x-y=18$$

Para gawing magkatumbas ang -x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -1.

$$5\left(-1\right)x+5\left(-6\right)y=5\left(-16\right),-5x-\left(-y\right)=-18$$

Pasimplehin.

$$-5x-30y=-80,-5x+y=-18$$

I-subtract ang -5x+y=-18 mula sa -5x-30y=-80 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-5x+5x-30y-y=-80+18$$

Idagdag ang -5x sa 5x. Naka-cancel out ang term na -5x at 5x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-30y-y=-80+18$$

Idagdag ang -30y sa -y.

$$-31y=-80+18$$

Idagdag ang -80 sa 18.

$$-31y=-62$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -31.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa 5x-y=18. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x-2=18$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=2$$