Lutasin ang {l}{-x-5y=14}{-2x-7y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 5 y = 14 } \\ { - 2 x - 7 y = 16 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=6$$

$$y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-x-5y=14,-2x-7y=16$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-x-5y=14$$

Idagdag ang 5y sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=5y+14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=-\left(5y+14\right)$$

I-multiply ang -1 times 5y+14.

$$x=-5y-14$$

I-substitute ang -5y-14 para sa x sa kabilang equation na -2x-7y=16.

$$-2\left(-5y-14\right)-7y=16$$

I-multiply ang -2 times -5y-14.

$$10y+28-7y=16$$

Idagdag ang 10y sa -7y.

$$3y+28=16$$

I-subtract ang 28 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y=-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=-4$$

I-substitute ang -4 para sa y sa x=-5y-14. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-5\left(-4\right)-14$$

I-multiply ang -5 times -4.

$$x=20-14$$

Idagdag ang -14 sa 20.

$$x=6$$

Nalutas na ang system.

$$x=6,y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-x-5y=14,-2x-7y=16$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}&-\frac{-5}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}&-\frac{1}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{5}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\times 14-\frac{5}{3}\times 16\\-\frac{2}{3}\times 14+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=6,y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-x-5y=14,-2x-7y=16$$

Para gawing magkatumbas ang -x at -2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -1.

$$-2\left(-1\right)x-2\left(-5\right)y=-2\times 14,-\left(-2\right)x-\left(-7y\right)=-16$$

Pasimplehin.

$$2x+10y=-28,2x+7y=-16$$

I-subtract ang 2x+7y=-16 mula sa 2x+10y=-28 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x+10y-7y=-28+16$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$10y-7y=-28+16$$

Idagdag ang 10y sa -7y.

$$3y=-28+16$$

Idagdag ang -28 sa 16.

$$3y=-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=-4$$

I-substitute ang -4 para sa y sa -2x-7y=16. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-2x-7\left(-4\right)=16$$

I-multiply ang -7 times -4.

$$-2x+28=16$$

I-subtract ang 28 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=6$$

Nalutas na ang system.

$$x=6,y=-4$$