Lutasin ang {l}{-x-5y=11}{2x+y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 5 y = 11 } \\ { 2 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{56}{9} = 6\frac{2}{9} \approx 6.222222222$$

$$y = -\frac{31}{9} = -3\frac{4}{9} \approx -3.444444444$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-x-5y=11$$

Idagdag ang 5y sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=5y+11$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=-\left(5y+11\right)$$

I-multiply ang -1 times 5y+11.

$$x=-5y-11$$

I-substitute ang -5y-11 para sa x sa kabilang equation na 2x+y=9.

$$2\left(-5y-11\right)+y=9$$

I-multiply ang 2 times -5y-11.

$$-10y-22+y=9$$

Idagdag ang -10y sa y.

$$-9y-22=9$$

Idagdag ang 22 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-9y=31$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -9.

$$y=-\frac{31}{9}$$

I-substitute ang -\frac{31}{9} para sa y sa x=-5y-11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-5\left(-\frac{31}{9}\right)-11$$

I-multiply ang -5 times -\frac{31}{9}.

$$x=\frac{155}{9}-11$$

Idagdag ang -11 sa \frac{155}{9}.

$$x=\frac{56}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-1-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 11+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{2}{9}\times 11-\frac{1}{9}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{56}{9}\\-\frac{31}{9}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

Para gawing magkatumbas ang -x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\times 11,-2x-y=-9$$

Pasimplehin.

$$-2x-10y=22,-2x-y=-9$$

I-subtract ang -2x-y=-9 mula sa -2x-10y=22 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-2x+2x-10y+y=22+9$$

Idagdag ang -2x sa 2x. Naka-cancel out ang term na -2x at 2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-10y+y=22+9$$

Idagdag ang -10y sa y.

$$-9y=22+9$$

Idagdag ang 22 sa 9.

$$-9y=31$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -9.

$$y=-\frac{31}{9}$$

I-substitute ang -\frac{31}{9} para sa y sa 2x+y=9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x-\frac{31}{9}=9$$

Idagdag ang \frac{31}{9} sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=\frac{112}{9}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{56}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$