Lutasin ang {l}{-x-2y=9}{3x-2y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = 9 } \\ { 3 x - 2 y = 21 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-x-2y=9$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=2y+9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=-\left(2y+9\right)$$

I-multiply ang -1 times 2y+9.

$$x=-2y-9$$

I-substitute ang -2y-9 para sa x sa kabilang equation na 3x-2y=21.

$$3\left(-2y-9\right)-2y=21$$

I-multiply ang 3 times -2y-9.

$$-6y-27-2y=21$$

Idagdag ang -6y sa -2y.

$$-8y-27=21$$

Idagdag ang 27 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-8y=48$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$y=-6$$

I-substitute ang -6 para sa y sa x=-2y-9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-2\left(-6\right)-9$$

I-multiply ang -2 times -6.

$$x=12-9$$

Idagdag ang -9 sa 12.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{1}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 9+\frac{1}{4}\times 21\\-\frac{3}{8}\times 9-\frac{1}{8}\times 21\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

I-subtract ang 3x-2y=21 mula sa -x-2y=9 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-x-3x-2y+2y=9-21$$

Idagdag ang -2y sa 2y. Naka-cancel out ang term na -2y at 2y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-x-3x=9-21$$

Idagdag ang -x sa -3x.

$$-4x=9-21$$

Idagdag ang 9 sa -21.

$$-4x=-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=3$$

I-substitute ang 3 para sa x sa 3x-2y=21. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$3\times 3-2y=21$$

I-multiply ang 3 times 3.

$$9-2y=21$$

I-subtract ang 9 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2y=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$y=-6$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=-6$$