Lutasin ang {l}{-x+5y=-1}{+x+2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 5 y = - 1 } \\ { + x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{27}{7} = 3\frac{6}{7} \approx 3.857142857$$

$$y=\frac{4}{7}\approx 0.571428571$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-x+5y=-1$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=-5y-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=-\left(-5y-1\right)$$

I-multiply ang -1 times -5y-1.

$$x=5y+1$$

I-substitute ang 5y+1 para sa x sa kabilang equation na x+2y=5.

$$5y+1+2y=5$$

Idagdag ang 5y sa 2y.

$$7y+1=5$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7y=4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$y=\frac{4}{7}$$

I-substitute ang \frac{4}{7} para sa y sa x=5y+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=5\times \frac{4}{7}+1$$

I-multiply ang 5 times \frac{4}{7}.

$$x=\frac{20}{7}+1$$

Idagdag ang 1 sa \frac{20}{7}.

$$x=\frac{27}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-5}&-\frac{5}{-2-5}\\-\frac{1}{-2-5}&-\frac{1}{-2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\left(-1\right)+\frac{5}{7}\times 5\\\frac{1}{7}\left(-1\right)+\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{7}\\\frac{4}{7}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

Para gawing magkatumbas ang -x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -1.

$$-x+5y=-1,-x-2y=-5$$

I-subtract ang -x-2y=-5 mula sa -x+5y=-1 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-x+x+5y+2y=-1+5$$

Idagdag ang -x sa x. Naka-cancel out ang term na -x at x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$5y+2y=-1+5$$

Idagdag ang 5y sa 2y.

$$7y=-1+5$$

Idagdag ang -1 sa 5.

$$7y=4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$y=\frac{4}{7}$$

I-substitute ang \frac{4}{7} para sa y sa x+2y=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+2\times \frac{4}{7}=5$$

I-multiply ang 2 times \frac{4}{7}.

$$x+\frac{8}{7}=5$$

I-subtract ang \frac{8}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{27}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$