Lutasin ang {l}{-x+3/4y=7}{4x-y=-16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + \frac { 3 } { 4 } y = 7 } \\ { 4 x - y = - 16 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-x+\frac{3}{4}y=7$$

I-subtract ang \frac{3y}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=-\frac{3}{4}y+7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=-\left(-\frac{3}{4}y+7\right)$$

I-multiply ang -1 times -\frac{3y}{4}+7.

$$x=\frac{3}{4}y-7$$

I-substitute ang \frac{3y}{4}-7 para sa x sa kabilang equation na 4x-y=-16.

$$4\left(\frac{3}{4}y-7\right)-y=-16$$

I-multiply ang 4 times \frac{3y}{4}-7.

$$3y-28-y=-16$$

Idagdag ang 3y sa -y.

$$2y-28=-16$$

Idagdag ang 28 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=6$$

I-substitute ang 6 para sa y sa x=\frac{3}{4}y-7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{4}\times 6-7$$

I-multiply ang \frac{3}{4} times 6.

$$x=\frac{9}{2}-7$$

Idagdag ang -7 sa \frac{9}{2}.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}&-\frac{\frac{3}{4}}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}\\-\frac{4}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}&-\frac{1}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{8}\\2&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{8}\left(-16\right)\\2\times 7+\frac{1}{2}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\6\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

Para gawing magkatumbas ang -x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -1.

$$4\left(-1\right)x+4\times \frac{3}{4}y=4\times 7,-4x-\left(-y\right)=-\left(-16\right)$$

Pasimplehin.

$$-4x+3y=28,-4x+y=16$$

I-subtract ang -4x+y=16 mula sa -4x+3y=28 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-4x+4x+3y-y=28-16$$

Idagdag ang -4x sa 4x. Naka-cancel out ang term na -4x at 4x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3y-y=28-16$$

Idagdag ang 3y sa -y.

$$2y=28-16$$

Idagdag ang 28 sa -16.

$$2y=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=6$$

I-substitute ang 6 para sa y sa 4x-y=-16. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x-6=-16$$

Idagdag ang 6 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$