Lutasin ang {l}{-9x-7y=17}{10x+7y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - 7 y = 17 } \\ { 10 x + 7 y = - 15 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2$$

$$y=-5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-9x-7y=17$$

Idagdag ang 7y sa magkabilang dulo ng equation.

$$-9x=7y+17$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(7y+17\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{9} times 7y+17.

$$x=-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}$$

I-substitute ang \frac{-7y-17}{9} para sa x sa kabilang equation na 10x+7y=-15.

$$10\left(-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}\right)+7y=-15$$

I-multiply ang 10 times \frac{-7y-17}{9}.

$$-\frac{70}{9}y-\frac{170}{9}+7y=-15$$

Idagdag ang -\frac{70y}{9} sa 7y.

$$-\frac{7}{9}y-\frac{170}{9}=-15$$

Idagdag ang \frac{170}{9} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{7}{9}y=\frac{35}{9}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{7}{9}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-5$$

I-substitute ang -5 para sa y sa x=-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{7}{9}\left(-5\right)-\frac{17}{9}$$

I-multiply ang -\frac{7}{9} times -5.

$$x=\frac{35-17}{9}$$

Idagdag ang -\frac{17}{9} sa \frac{35}{9} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=-5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}&-\frac{-7}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}\\-\frac{10}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}&-\frac{9}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{10}{7}&-\frac{9}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17-15\\-\frac{10}{7}\times 17-\frac{9}{7}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2,y=-5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

Para gawing magkatumbas ang -9x at 10x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 10 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -9.

$$10\left(-9\right)x+10\left(-7\right)y=10\times 17,-9\times 10x-9\times 7y=-9\left(-15\right)$$

Pasimplehin.

$$-90x-70y=170,-90x-63y=135$$

I-subtract ang -90x-63y=135 mula sa -90x-70y=170 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-90x+90x-70y+63y=170-135$$

Idagdag ang -90x sa 90x. Naka-cancel out ang term na -90x at 90x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-70y+63y=170-135$$

Idagdag ang -70y sa 63y.

$$-7y=170-135$$

Idagdag ang 170 sa -135.

$$-7y=35$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$y=-5$$

I-substitute ang -5 para sa y sa 10x+7y=-15. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$10x+7\left(-5\right)=-15$$

I-multiply ang 7 times -5.

$$10x-35=-15$$

Idagdag ang 35 sa magkabilang dulo ng equation.

$$10x=20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=-5$$