Lutasin ang {l}{-9x+6y=13}{cx+8y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x + 6 y = 13 } \\ { c x + 8 y = - 12 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

$$y=-\frac{108-13c}{6\left(c+12\right)}$$

$$c\neq -12$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-9x+6y=13$$

I-subtract ang 6y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-9x=-6y+13$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6y+13\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{9} times -6y+13.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}$$

I-substitute ang \frac{2y}{3}-\frac{13}{9} para sa x sa kabilang equation na cx+8y=-12.

$$c\left(\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}\right)+8y=-12$$

I-multiply ang c times \frac{2y}{3}-\frac{13}{9}.

$$\frac{2c}{3}y-\frac{13c}{9}+8y=-12$$

Idagdag ang \frac{2cy}{3} sa 8y.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y-\frac{13c}{9}=-12$$

Idagdag ang \frac{13c}{9} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y=\frac{13c}{9}-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{2c}{3}+8.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

I-substitute ang \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)} para sa y sa x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

I-multiply ang \frac{2}{3} times \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)}.

$$x=\frac{13c-108}{9\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

Idagdag ang -\frac{13}{9} sa \frac{-108+13c}{9\left(c+12\right)}.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-9\times 8-6c}&-\frac{6}{-9\times 8-6c}\\-\frac{c}{-9\times 8-6c}&-\frac{9}{-9\times 8-6c}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(c+12\right)}&\frac{1}{c+12}\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}&\frac{3}{2\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{3\left(c+12\right)}\right)\times 13+\frac{1}{c+12}\left(-12\right)\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}\times 13+\frac{3}{2\left(c+12\right)}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{88}{3\left(c+12\right)}\\\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

Para gawing magkatumbas ang -9x at cx, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang c at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -9.

$$c\left(-9\right)x+c\times 6y=c\times 13,-9cx-9\times 8y=-9\left(-12\right)$$

Pasimplehin.

$$\left(-9c\right)x+6cy=13c,\left(-9c\right)x-72y=108$$

I-subtract ang \left(-9c\right)x-72y=108 mula sa \left(-9c\right)x+6cy=13c sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\left(-9c\right)x+9cx+6cy+72y=13c-108$$

Idagdag ang -9cx sa 9cx. Naka-cancel out ang term na -9cx at 9cx ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$6cy+72y=13c-108$$

Idagdag ang 6cy sa 72y.

$$\left(6c+72\right)y=13c-108$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 72+6c.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

I-substitute ang \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)} para sa y sa cx+8y=-12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$cx+8\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}=-12$$

I-multiply ang 8 times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}.

$$cx+\frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}=-12$$

I-subtract ang \frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$cx=-\frac{88c}{3\left(c+12\right)}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang c.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$